ALGEBRA LINEAL
MATRICES
1) Introducción al tema:
1.1) Qué es una matriz .
- Una matriz es una tabla o conjunto bidimensional de números en cantidades abstractas, ordenadas en filas y columnas y que pueden sumarse y multiplicarse.
1.2) Uso.
- Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales y registrar los datos que dependen de varios parámetros.
1.3) Características.
- Se componen de filas y columnas. ( m x n ) donde:
- las filas representan la letra [ m ].
- las columnas representan la letra [ n ].
Estos números son multiplicados y nos arroja la cantidad de elementos que tendrá nuestra matriz, por lo tanto, graficar una matriz (m x n)
donde [ m = 3] y [ n = 4], es decir ( 3 x 4 ) seria: 3 x 4 = 12 elementos distribuidos en 3 filas y 4 columnas
| a b c d |
| e f g h |
| i j k l |
- los números dentro de el conjunto son llamados elementos.
- los elementos poseen una posición identificada por
( i, j ) donde [ i ] representa la fila y [ j ] la columna.
- Así, a un elemento [ a ] ubicado en la posición ( i , j ) donde
[ i = 2] y [ j = 3 ], es decir en ( 2 , 3 ) esta ubicado en la fila 2 y la columna 3, de
esta manera:
| 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |
donde el elemento [ a ] corresponde al número 6.
- Las matrices son nombradas con letras mayúsculas [ A, B, C, …] y sus elementos o términos son representados con letras minúsculas [ a, b, c, …] estas acompañadas de su posición ( i , j ), teniendo en cuenta esto podemos decir que:
Matriz A de ( 2 x 2 )
| a b |
| c d |
podemos encontrar que:
a ( 2 , 2 ) = d
b ( 1 , 2 ) = b
2) Tipos de matrices:
2.1) Matriz cuadrada.
posee el mismo numero de filas y columnas.
| a | | a b | | a b c |
| c d | | d f g |
| h i j |
2.2) Matriz rectangular.
posee diferente numero de filas y de columnas.
| a b | | a b c d |
| c d | | e f g h |
| e f |
2.3) Matriz triangular.
2.3.1) Triangular superior.
es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal son iguales a 0
| a b c | | a b c d |
| 0 d e | | 0 e f g |
| 0 0 f | | 0 0 h i |
| 0 0 0 j |
2.3.2) Triangular inferior.
es triangular superior si todos los elementos que están por encima de la diagonal son iguales a 0
| a 0 0 | | a 0 0 0 |
| b c 0 | | b c 0 0 |
| d e f | | d e f 0 |
| g h i j |
2.4) Matriz nula o cero.
es una matriz cuadrada en la cual todos sus elementos son iguales a 0.
| 0 0 | | 0 0 0 |
| 0 0 | | 0 0 0 |
| 0 0 0 |
2.5) Matriz identidad.
es una matriz cuadrada en la cual todos sus elementos son 0 menos la diagonal principal que es igual a 1.
| 1 0 | | 1 0 0 |
| 0 1 | | 0 1 0 |
| 0 0 1 |
2.6) Matriz diagonal.
es una matriz en la cual todos los elementos son 0 fuera de la diagonal principal que es igual a cualquier elemento
| a 0 | | a 0 0 |
| 0 b | | 0 b 0 |
| 0 0 c |
3) Operaciones entre matrices:
3.1) Suma.
para sumar dos matrices estas deben tener el mismo tamaño
sumamos el elemento en la posición ( 1 , 1 ) de la primera matriz con el elemento en la posición ( 1 , 1 ) de la segunda matriz, luego sumamos el elemento en la posición ( 1 , 2 ) de la primera matriz con el elemento en la posición ( 1 , 2 ) de la segunda matriz y así sucesivamente, obtendremos una matriz del mismo tamaño de ambas matrices, es decir, si sumamos dos matrices de ( 4 x 4 ) obtendremos una matriz igualmente de ( 4 x 4 ), ejemplo.
- Suma dos matrices de ( 3x3 ) dadas de la siguiente manera
| 5 2 3 | | 3 1 4 | | 8 3 7 |
| 4 5 6 | + | 0 4 2 | = | 4 9 8 |
| 7 8 9 | | 1 3 5 | | 8 11 14 |
Operaciones:
A B R//
a(1,1) = 5 a(1,1) = 3 5 + 3 = 8
a(1,2) = 2 a(1,2) = 1 2 + 1 = 3
a(1,3) = 3 a(1,3) = 4 3 + 4 = 7
3.2) Resta.
para restar dos matrices estas deben tener el mismo tamaño
restamos el elemento en la posición ( 1 , 1 ) de la primera matriz con el elemento en la posición ( 1 , 1 ) de la segunda matriz, luego restamos el elemento en la posición ( 1 , 2 ) de la primera matriz con el elemento en la posición ( 1 , 2 ) de la segunda matriz y así sucesivamente, obtendremos una matriz del mismo tamaño de ambas matrices, es decir, si restamos dos matrices de ( 4 x 4 ) obtendremos una matriz igualmente de ( 4 x 4 ), ejemplo.
- Resta dos matrices de ( 3x3 ) dadas de la siguiente manera
| 5 2 3 | | 2 1 4 | | 3 1 -1 |
| 4 5 6 | + | 0 4 2 | = | 4 1 4 |
| 7 8 9 | | 1 3 5 | | 6 5 4 |
Operaciones:
A B R//
a(1,1) = 5 a(1,1) = 2 5 - 2 = 3
a(1,2) = 2 a(1,2) = 1 2 - 1 = 1
a(1,3) = 3 a(1,3) = 4 3 - 4 = -1
3.3) Multiplicación por un escalar.
para multiplicar una matriz por un escalar solo debemos multiplicar cada elemento por el numero indicado con la letra [ K ] y la matriz resultado será de un tamaño igual al de la matriz principal
A * K = A * 4
| 2 5 | * 4 = | 8 20 |
| 5 3 | | 20 12 |
A * - 2
| -3 -2 | * - 2 = | 6 4 |
| 4 8 | | - 8 - 16 |
3.4) Multiplicación de dos matrices.
para multiplicar dos matrices estas deben cumplir lo siguiente, la cantidad de columnas de la primera debe coincidir con la cantidad de filas de la segunda. el siguiente paso es crear la matriz resultante esta tendrá un tamaño que corresponde a las filas de la primera por las columnas de la segunda
Observación:
para identificar si dos matrices cumplen el requisito para multiplicarlas e hallar el tamaño de la resultarte podemos escribir sus tamaños y fijarnos en lo siguiente:
los números internos deben coincidir para poder multiplicarlas y el tamaño de la matriz resultante será los números externos así:
- ( 4 x 2 ) * ( 2 x 2) = cumplen, los internos son iguales ( 2 ) y el tamaño de la matriz resultante es igual a los externos ( 4 x 2 )
- ( 3 x 5 ) * ( 3 x 2 ) = no cumplen, los internos son diferentes ( 5 , 3 )
- ( 2 x 2 ) * ( 4 x 4 ) = no cumplen, los internos son diferentes ( 2 , 4 )
- ( 3 x 3 ) * ( 3 x 1 ) = cumplen, los internos son iguales ( 3 ) y el tamaño de la matriz resultante es igual a los externos ( 3 x 1 )
multiplicación de dos matrices de ( 2 x 3 ) y ( 3 x 2 )
cumplen la regla, (los números internos coinciden 3 y 3) por lo tanto la matriz resultante será de tamaño ( 2 x 2 ) que son los números extremos de ambas matrices.
| 1 2 3 | | 2 2 |
| 4 2 2 | * | 1 2 |
| 2 4 |
- Primero debemos crear la matriz resultante pero sin elementos, solo con sus posiciones ya que nos ayudaran a luego poder operar
| 1 2 3 | | 2 2 | | 1,1 1,2 |
| 4 2 2 | * | 1 2 | = | 2,1 2,2 |
| 2 4 |
- Ahora vamos a operar los números, nos fijamos en la posición que vamos a resolver, en este caso será la posición ( 1 , 1 ), el primer numero equivale a las filas de la primera matriz y el segundo numero equivale a las columnas de la segunda matriz por lo tanto las vamos a aislar para operarlas
| 1 2 3 | | 2 x | | 1,1 x |
| x x x | * | 1 x | = | x x |
| 2 x |
- vamos a multiplicar de la siguiente manera, nos ubicamos en la primera matriz y sacamos el primer elemento de la fila, luego nos ubicamos en la segunda matriz y sacamos el primer elemento de la columna y los multiplicamos
1 x 2 = 2
- luego nos ubicamos en la primera matriz y sacamos el segundo elemento de la fila y después nos ubicamos en la segunda matriz y sacamos el segundo elemento de la columna y los multiplicamos
2 x 1 = 2
- por ultimo nos ubicamos en la primera matriz y sacamos el tercer elemento de la fila y finalmente nos ubicamos en la segunda matriz y sacamos el tercer elemento de la columna y los multiplicamos
3 x 2 = 6
- los números que nos resultaron los sumamos y esto nos arrojara el elemento que estará en la posición ( 1 , 1 )
2 + 2 + 6 = 10
| 1 2 3 | | 2 x | | 10 x |
| x x x | * | 1 x | = | x x |
| 2 x |
- este proceso se repite para cada posición de la matriz resultante, ubicamos que posición de la matriz resultante operaremos, en este caso ( 1 , 2 ), esto equivale a la fila 1 de la matriz 1 y la columna 2 de la matriz 2, la aislamos y sumamos los resultado de multiplicar sus posiciones correspondientemente así:
| 1 2 3 | | x 2 | | 10 18 |
| x x x | * | x 2 | = | x x |
| x 4 |
1 x 2 = 2
2 x 2 = 4
3 x 4 = 12
2 + 4 + 12 = 18
- así continuamos operando hasta hallar todos los elementos e la matriz resultante, ahora la posición ( 2 , 1 )
| x x x | | 2 x | | 10 18 |
| 4 2 2 | * | 1 x | = | 14 x |
| 2 x |
4 x 2 = 8
2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
8 + 2 + 4 = 14
por ultimo la posición ( 2 , 2 )
| x x x | | x 2 | | 10 18 |
| 4 2 2 | * | x 2 | = | 14 20 |
| x 4 |
4 x 2 = 8
2 x 2 = 4
2 x 4 = 8
8 + 4 + 8 = 20
- multiplicación de dos matrices de ( 2 x 3 ) y ( 3 x 2 ) dadas de la siguiente manera:
| 1 2 3 | | 2 2 | | 10 18 |
| 4 2 2 | * | 1 2 | = | 14 20 |
| 2 4 |
3) Operaciones entre la misma matriz:
4.1) Determinante.
el determinante se representa con el nombre de la matriz dentro de líneas verticales [ | A | ], es un número obtenido al multiplicar la diagonal principal y restarle la diagonal secundaria ejemplo:
| 2 3 |
| 1 4 |
( 2 x 4 ) - ( 3 x 1) =
( 8 - 3 ) = 5 | A | = 5
esto en el caso de una matriz de ( 2 x 2 ), en el caso de tener una matriz de ( 3 x 3 ) se realizan los siguientes pasos
| 2 5 1 |
| 2 4 3 |
| 2 1 1 |
1. ampliamos la matriz, en esta ampliación colocamos la misma matriz que tenemos:
| 2 5 1 |
| 2 4 3 |
| 2 1 1 |
| 2 5 1 |
| 2 4 3 |
| 2 1 1 |
2. multiplicamos la diagonal principal de la matriz inicial
| 2 5 1 |
| 2 4 3 |
| 2 1 1 |
| 2 5 1 |
| 2 4 3 |
| 2 1 1 |
2 * 4 * 1 = 8
3. bajamos una posición y multiplicamos esta diagonal ( de izquierda a derecha )
| 2 5 1 |
| 2 4 3 |
| 2 1 1 |
| 2 5 1 |
| 2 4 3 |
| 2 1 1 |
2 * 1 * 1 = 2
4. repetimos el anterior paso
| 2 5 1 |
| 2 4 3 |
| 2 1 1 |
| 2 5 1 |
| 2 4 3 |
| 2 1 1 |
2 * 5 * 3 = 30
5. sumamos estos resultados
8 + 2 + 30 = 40
6. multiplicamos la diagonal secundaria de la matriz inicial
| 2 5 1 |
| 2 4 3 |
| 2 1 1 |
| 2 5 1 |
| 2 4 3 |
| 2 1 1 |
1 * 4 * 2 = 8
7. repetimos el paso 3 y 4 pero en sentido contrario ( de derecha a izquierda ) y sumamos los resultados
| 2 5 1 |
| 2 4 3 |
| 2 1 1 |
| 2 5 1 |
| 2 4 3 |
| 2 1 1 |
3 * 1 * 2 = 6
1 * 5 * 2 = 10
8 + 6 + 10 = 24
8. restamos los resultados de las sumas de el paso 5 y 7. este numero es el determinante de la matriz
40 - 24 = 16 | A | = 16
4.2) Matriz adjunta.
la matriz adjunta se representa con la palabra Adj seguida del nombre de esta [ Adj(A) ], se encuentra hallando los adjuntos de cada posición de nuestra matriz.
4.2.1) Adjuntos.
| 2 5 1 | | 1,1 1,2 1,3 |
| 2 4 3 | | 2,1 2,2 2,3 |
| 2 1 1 | | 3,1 3,2 3,3 |
para hallar los adjuntos debemos tener en cuenta la posición que vamos a hallar en este caso ( 1 , 1 ), debemos eliminar la fila y la columna donde esta este elemento
| x x x |
| x 4 3 |
| x 1 1 |
hallamos el determinante de los elementos que nos quedan y así tenemos el adjunto de la posición correspondiente a ( 1 , 1 )
( 4 x 1 ) - ( 3 x 1 ) =
( 4 - 3 ) = 1
por ultimo multiplicamos el resultado por la siguiente matriz de signos basándonos en la posición en este caso la ( 1 , 1 ) así tenemos el adjunto de la posición correspondiente a ( 1 , 1 )
| + - + |
| - + - | 1 * ( + ) = 1
| + - + |
| 2 5 1 | | 1 1,2 1,3 |
| 2 4 3 | | 2,1 2,2 2,3 |
| 2 1 1 | | 3,1 3,2 3,3 |
repetimos este proceso para todas las posiciones y obtendremos la matriz de adjuntos o matriz adjunta
| + - + |
| - + - |
| + - + |
| 2 5 1 | | 1 4 - 6 |
| 2 4 3 | | 2,1 2,2 2,3 |
| 2 1 1 | | 3,1 3,2 3,3 |
( 1 , 2 ) = | x x x | ( 2 x 1 ) - ( 3 x 2 ) =
| 2 x 3 | ( 2 - 6 ) = - 4 * ( - ) = 4
| 2 x 1 |
( 1 , 3 ) = | x x x | ( 2 x 1 ) - ( 4 x 2 ) =
| 2 4 x | ( 2 - 8 ) = - 6 * ( + ) = - 6
| 2 1 x |
Así continuamos hasta hallar la ultima posición.
4.3) Matriz transpuesta.
se representa con una letra [ t ] arriba de la letra de la matriz [ Aᵗ , Bᵗ ]. Es una matriz resultante de intercambiar las filas por las columnas ordenadamente.
| a b c | | a d g |
| d e f | = | b e h |
| g h i | | c f i |
4.4) Matriz inversa.
se representa con un [ -1 ] arriba de la letra de la matriz [ A-¹, B-¹ ]. Es una matriz resultante de la siguiente operación: [ A-¹ = Adj(Aᵗ) / | A | ], por lo tanto una vez dada una matriz debemos hallar su determinante, su matriz transpuesta, a esta matriz transpuesta hallarle sus adjuntos y por ultimo esta matriz de adjuntos dividirlos entre el determinante así:
dada la siguiente matriz, hallar su inversa:
| 2 5 1 |
| 2 4 3 |
| 2 1 1 |
1. hallamos su determinante: | A | = 16
| 2 5 1 | 2 x 4 x 1 = 8 +
| 2 4 3 | 2 x 1 x 1 = 2 +
| 2 1 1 | 2 x 5 x 3 = 30 -
| 2 5 1 | 1 x 4 x 2 = 8 -
| 2 4 3 | 3 x 1 x 2 = 6 -
| 2 1 1 | 1 x 5 x 2 = 10 = ( 40 - 24) = | A | = 16
2. hallamos su transpuesta
| 2 5 1 | | 2 2 2 | ᵗ
| 2 4 3 | = | 5 4 1 |
| 2 1 1 | | 1 3 2 |
3. hallamos la matriz adjunta de la matriz transpuesta
| + - + |
| - + - |
| + - + |
| 2 2 2 | | 1 - 4 11 |
| 5 4 1 | Adj(Aᵗ) = | 4 0 - 4 |
| 1 3 1 | | -6 8 - 2 |
( 1 , 2 ) = | x x x | ( 4 x 1 ) - ( 1 x 3 ) =
| x 4 1 | ( 4 - 3 ) = 1 * ( + ) = 1
| x 3 1 |
( 1 , 2 ) = | x x x | ( 5 x 1 ) - ( 1 x 1 ) =
| 5 x 1 | ( 5 - 1 ) = 4 * ( - ) = - 4
| 1 x 1 |
( 1 , 3 ) = | x x x | ( 5 x 3 ) - ( 4 x 1 ) =
| 5 4 x | ( 15 - 4 ) = 11 * ( + ) = 11
| 1 3 x |
( 2 , 1 ) = | x 2 2 | ( 2 x 1 ) - ( 2 x 3 ) =
| x x x | ( 2 - 6 ) = - 4 * ( - ) = 4
| x 3 1 |
( 2 , 2 ) = | 2 x 2 | ( 2 x 1 ) - ( 2 x 1 ) =
| x x x | ( 2 - 2 ) = 0 * ( + ) = 0
| 1 x 1 |
( 2 , 3 ) = | 2 2 x | ( 2 x 3 ) - ( 2 x 1 ) =
| x x x | ( 6 - 2 ) = 4 * ( - ) = - 4
| 1 3 x |
( 3 , 1 ) = | x 2 2 | ( 2 x 1 ) - ( 2 x 4 ) =
| x 4 1 | ( 2 - 8 ) = -6 * ( + ) = - 6
| x x x |
( 3 , 2 ) = | 2 x 2 | ( 2 x 1 ) - ( 2 x 5 ) =
| 5 x 1 | ( 2 - 10 ) = - 8 * ( - ) = 8
| x x x |
( 3 , 3 ) = | 2 2 x | ( 2 x 4 ) - ( 2 x 5 ) =
| 5 4 x | ( 8 - 10 ) = - 2 * ( + ) = - 2
| x x x |
4. por ultimo dividimos esta matriz adjunta por el determinante
| 1 - 4 11 | | 0.06 - 0.25 0.69 |
| 4 0 - 4 | / 16 = A-¹ | 0.25 0 - 0.25 |
| -6 8 - 2 | | - 0.38 0.5 - 0.13 |
4.5) Operaciones elementales.
4.5.1) Intercambio de filas.
esta operación intercambia una fila por otra que se indique previamente
F1 <--> F2
| 2 4 | | 5 1 |
| 5 1 | | 2 4 |
4.5.2) Fila por un escalar
esta operación multiplica una fila indicada previamente por un escalar [ K ].
4F2
| 2 4 | | 2 4 |
| 5 1 | | 20 4 | 5 * 4 = 20 1 * 4 = 4
también nos permite dividir
F1 / 2
| 2 4 | | 1 2 | 2 / 2 = 1 4 / 2 = 2
| 5 1 | | 5 1 |
4.5.3) Fila mas el escalar de otra
esta operación nos permite sumar una fila por el resultado de multiplicar otra por un escalar
F1 + 2F2
| 2 4 | | 12 6 | 2 + (2 * 5) = 12 4 + (2 * 1) = 6
| 5 1 | | 5 1 |
también nos permite restar, además, se permite multiplicar por un escalar la fila que estamos afectando
2F1 - 2F2
| 2 4 | | 14 10 | (2 * 2) + (2 * 5) = 14 (2 * 4) + (2 * 1) = 10
| 5 1 | | 5 1 |
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