ESPACIOS VECTORIALE

Espacios vectoriales

¿Qué son los espacios vectoriales?

En álgebra lineal, El concepto de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales, además de una operación interna y una operación externa que satisface 8 propiedades fundamentales, en relación a esto las operaciones son una operación de suma (interna al conjunto) y una operación de producto entre dicho conjunto por un escalar.

¿Cómo comprobar si un conjunto es un espacio vectorial?

debe cumplir con 10 axiomas o propiedades las cuales son las siguientes: 

U, V, W (vectores)   -    c, d (escalares)

1. u + v   ∈ R 

2. u + v   =   (v + u) 

3. u + 0   =   u 

4. u + (-u)   =   0

5. (u + v) + w   =   u + (v + w) 

6. (c . v)   ∈  R

7. c (u + v)    =   c . u + c. v 

8. (c + d) v   =   c . v + d. v 

9. (c . d) . v   =   c . (d . v) 

10. 1 . v   =   v

¿Qué es un subespacio vectorial?

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V (el espacio vectorial original). 

¿Cómo comprobar si un subconjunto es un espacio vectorial en un subconjunto?

Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V ( W ⊆ V ) . W es subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones

a. 0 V está en W . 

b. Si u y v están en W , entonces u + v está en W . 

c. Si u está en W y k es un escalar, k u está en W .

Observaciones

1. La condición (a) asegura que W no es vacío. La mejor manera de comprobar si W es un subespacio es buscar primero si contiene al vector nulo. Si 0v$0_V$ está en W, entonces deben verificarse las propiedades (b) y (c). Si 0v$0_V$ no está en W, W no puede ser un subespacio y no hace falta verificar las otras propiedades.

2. Las propiedades a, b y c corresponden a los axiomas 4, 1 y 6 de espacios vectoriales.

3. Los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10 de espacio vectorial se cumplen para $W$ porque éste es un subconjunto de $V$. Puede decirse que $W$ «hereda» esas propiedades de $V$.

4. Faltaría comprobar que cada vector de $W$ tiene su opuesto en $W$ (axioma 5 de espacios vectoriales):
Teniendo en cuenta la condición (c) de subespacios,
c. Si $u$ está en $W$ y $k$ es un escalar, $ku$ está en $W$.
Si tomamos $k=–1$, resulta:
Para cada $u\in W,\left(–1\right)u=–u\in W$.
Y por lo tanto cada vector de $W$ tiene su opuesto en $W$.
De las observaciones anteriores se deduce que las condiciones (a), (b) y (c) son suficientes para demostrar que $W$ es un espacio vectorial, y por lo tanto subespacio de $V$.